Να υπολογίσετε το ορισμένο ολοκλήρωμα $$\int_{0}^{\pi}x\left[\sin^{2}(\sin x)+\cos^{2}(\cos x)\right]\ dx$$.
(Προτάθηκε από το Βασίλη Μαυροφρύδη στο www.mathematica.gr)
$$I=(\pi/2)\int_{0}^{\pi}\sin^{2}(\sin y)+\cos^{2}(\cos y)\,dy\stackrel{\boxed{*}}{=}(\pi/4)\int_{-\pi}^{\pi}\sin^{2}(\sin y)+\cos^{2}(\cos y)\,dy$$
$$\stackrel{y=u+\pi/2}{=}(\pi/4)\int_{-3\pi/2}^{\pi/2}\sin^{2}(\cos u)+\cos^{2}(\sin u)\,dy\stackrel{\boxed{**}}{=}(\pi/4)\int_{-\pi}^{\pi}\sin^{2}(\cos u)+\cos^{2}(\sin u)\,dy$$
Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε $$2I=(\pi/4)\int_{-\pi}^{\pi}1+1\,du=\pi^2\Rightarrow I=\pi^{2}/2$$.
$$\boxed{*}$$ λόγω αρτιότητας της ολοκληρωτέας
$$\boxed{**}$$ διότι αν η συνεχής $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ έχει περίοδο $$T$$,
τότε για κάθε $$a\in\mathbb{R}$$ είναι $$\int_{a}^{a+T}f(x)\,dx=\int_{0}^{T}f(x)\,dx$$.
________________________________________________________________________
(Προτάθηκε από το Βασίλη Μαυροφρύδη στο www.mathematica.gr)
Λύση
Κοτρώνη Αναστάσιου
$$I\stackrel{x=\pi-y}{=}\pi\int_{0}^{\pi}\sin^{2}(\sin y)+\cos^{2}(\cos y)\,dy-I\Rightarrow$$
$$I=(\pi/2)\int_{0}^{\pi}\sin^{2}(\sin y)+\cos^{2}(\cos y)\,dy\stackrel{\boxed{*}}{=}(\pi/4)\int_{-\pi}^{\pi}\sin^{2}(\sin y)+\cos^{2}(\cos y)\,dy$$
$$\stackrel{y=u+\pi/2}{=}(\pi/4)\int_{-3\pi/2}^{\pi/2}\sin^{2}(\cos u)+\cos^{2}(\sin u)\,dy\stackrel{\boxed{**}}{=}(\pi/4)\int_{-\pi}^{\pi}\sin^{2}(\cos u)+\cos^{2}(\sin u)\,dy$$
Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε $$2I=(\pi/4)\int_{-\pi}^{\pi}1+1\,du=\pi^2\Rightarrow I=\pi^{2}/2$$.
$$\boxed{*}$$ λόγω αρτιότητας της ολοκληρωτέας
$$\boxed{**}$$ διότι αν η συνεχής $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ έχει περίοδο $$T$$,
τότε για κάθε $$a\in\mathbb{R}$$ είναι $$\int_{a}^{a+T}f(x)\,dx=\int_{0}^{T}f(x)\,dx$$.
________________________________________________________________________
Σε έγγραφο
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου