Σάββατο, 27 Αυγούστου 2011

Όριο φραγμένης συνάρτησης

Έστω η συνάρτηση $$f:(0,+\infty)\rightarrow [0,+\infty)$$ η οποία είναι φραγμένη. Να αποδειχθεί οτι αν:

$$ \lim_{x\rightarrow 0}\left(f(x)-\frac{1}{2}\sqrt{f(\frac{x}{2})} \right)=0$$ και $$ \lim_{x\rightarrow 0}\left(f(x)-2f^2(2x) \right)=0$$ τότε: $$ \lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0$$.

Των Dorin Andrica,Mihai Piticari


Λύση
Αναστασίου Κοτρώνη

$$f(x)-(1/2)\sqrt{f(x/2)}\to0\Rightarrow f(2x)-(1/2)\sqrt{f(x)}\to0\stackrel{x\to0}{\longrightarrow}0\qquad(1)$$

$$\stackrel{\boxed{*}}{\Rightarrow}2f^{2}(2x)-f(2x)\sqrt{f(x)}\to0\qquad (2)$$

Προσθέτοντας την $$(2)$$ με τη δεύτερη από τις δοθείσες έχουμε 


$$f(x)-f(2x)\sqrt{f(x)}\to0\qquad(3)$$

Όμως, πάλι επειδή η $$f$$ είναι φραγμένη, είναι 


$$(1)\stackrel{\sqrt{f(x)}\cdot}{\Rightarrow}\sqrt{f(x)}f(2x)-(1/2)f(x)\to0\qquad(4)$$

Τώρα προσθέτοντας $$(3)$$ με $$(4)$$ έχουμε $$f(x)\to0$$.

$$\boxed{*}$$: Επειδή η $$f$$ είναι φραγμένη.


________________________________________________________________________

Σε έγγραφο






Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου