Έστω η συνάρτηση $$f:(0,+\infty)\rightarrow [0,+\infty)$$ η οποία είναι φραγμένη. Να αποδειχθεί οτι αν:
$$ \lim_{x\rightarrow 0}\left(f(x)-\frac{1}{2}\sqrt{f(\frac{x}{2})} \right)=0$$ και $$ \lim_{x\rightarrow 0}\left(f(x)-2f^2(2x) \right)=0$$ τότε: $$ \lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0$$.
Των Dorin Andrica,Mihai Piticari
$$ \lim_{x\rightarrow 0}\left(f(x)-\frac{1}{2}\sqrt{f(\frac{x}{2})} \right)=0$$ και $$ \lim_{x\rightarrow 0}\left(f(x)-2f^2(2x) \right)=0$$ τότε: $$ \lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0$$.
Των Dorin Andrica,Mihai Piticari
Λύση
Αναστασίου Κοτρώνη
Προσθέτοντας την $$(2)$$ με τη δεύτερη από τις δοθείσες έχουμε
Όμως, πάλι επειδή η $$f$$ είναι φραγμένη, είναι
Τώρα προσθέτοντας $$(3)$$ με $$(4)$$ έχουμε $$f(x)\to0$$.
$$\boxed{*}$$: Επειδή η $$f$$ είναι φραγμένη.
________________________________________________________________________
$$f(x)-(1/2)\sqrt{f(x/2)}\to0\Rightarrow f(2x)-(1/2)\sqrt{f(x)}\to0\stackrel{x\to0}{\longrightarrow}0\qquad(1)$$
$$\stackrel{\boxed{*}}{\Rightarrow}2f^{2}(2x)-f(2x)\sqrt{f(x)}\to0\qquad (2)$$
Προσθέτοντας την $$(2)$$ με τη δεύτερη από τις δοθείσες έχουμε
$$f(x)-f(2x)\sqrt{f(x)}\to0\qquad(3)$$
Όμως, πάλι επειδή η $$f$$ είναι φραγμένη, είναι
$$(1)\stackrel{\sqrt{f(x)}\cdot}{\Rightarrow}\sqrt{f(x)}f(2x)-(1/2)f(x)\to0\qquad(4)$$
Τώρα προσθέτοντας $$(3)$$ με $$(4)$$ έχουμε $$f(x)\to0$$.
$$\boxed{*}$$: Επειδή η $$f$$ είναι φραγμένη.
________________________________________________________________________
Σε έγγραφο
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου