Άθροισμα τετραγώνων σε πεπερασμένο σώμα

Να αποδείξετε ότι αν $$F$$ είναι ένα πεπερασμένο σώμα, τότε κάθε στοιχείο του $$F$$ γράφεται ως άθροισμα δύο τετραγώνων (στοιχείων του $$F$$).

(Η άσκηση τέθηκε από το Βαγγέλη Μουρούκο στο www.mathematica.gr).

 Λύση

(Αναστασίου Κοτρώνη)

Έστω πεπερασμένο σώμα $$\mathbb F_{p^n}$$.

Θεωρώ δεδομένο ότι η πολλαπλασιαστική ομάδα του, $$\mathbb F_{p^n}^{\times}$$ ,είναι κυκλική.

$$\bullet$$ Για $$p=2$$: Θα έχουμε $$|\mathbb F_{2^n}^{\times}|=2^n-1$$ περιττός.

Ορίζουμε $$f:\mathbb F_{2^n}^{\times}\to \mathbb F_{2^n}^{\times}$$ με $$f(g)=g^2$$. Εύκολα βλέπουμε ότι η $$f$$ είναι ομομορφισμός ομάδων και επιπλέον $$\mathrm{kerf}=\{1\}$$ με το τελευταίο να ισχύει διότι αν υπήρχε $$g\in\mathbb F_{2^n}^{\times}\smallsetminus\{1\}$$ με $$g^2=1$$, τότε από το θεώρημα του Lagrange θα είχαμε $$2=|\langle g\rangle|\Big|2^n-1$$, άτοπο.

Έπεται ότι η $$f$$ είναι και επί, άρα κάθε στοιχείο του $$\mathbb F_{2^n}$$ είναι τετράγωνο. (το $$0$$ είναι κατά τετριμμένο τρόπο), άρα έχουμε το ζητούμενο.

$$\bullet$$ Για $$p\neq2$$:
________________________________________________________________________


Λήμμα

Έστω $$G$$ ομάδα με $$|G|=n$$ και $$A,B\subseteq G$$ με $$|A|+|B|>n$$. Τότε $$G=AB$$.

Απόδειξη

Θα δείξουμε ότι $$G\subseteq AB$$. Έστω $$g\in G$$. Θεωρώ το $$K:=\{a^{-1}g:a\in A\}$$.

Όρίζοντας την $$f:A\to K$$ με $$f(a)=a^{-1}g$$, βλέπουμε εύκολα ότι είναι $$1-1$$ και επί του $$K$$, άρα $$|K|=|A|$$.

Έστω $$a\in A$$. Ισχυρίζομαι ότι $$\exists b\in B:a^{-1}g=b$$.

Πράγματι, σε αντίθετη περίπτωση θα είχαμε $$K\cap B=\emptyset$$, άρα $$|K|+|B|=|A|+|B|\leq n$$, άτοπο.

Άρα για κάποιο $$b\in B$$ είναι $$a^{-1}g=b$$, άρα $$g=ab$$ και παίρνουμε το ζητούμενο.

________________________________________________________________________


για $$p>2$$ πρώτο τώρα, θα είναι $$|\mathbb F_{p^n}^{\times}|=p^n-1$$ άρτιος. Αφού η $$\mathbb F_{p^n}^{\times}$$ είναι κυκλική, τετράγωνα θα είναι τα στοιχεία της $$\mathbb F_{p^n}^{\times}$$ που είναι άρτιες δυνάμεις του γεννήτορα, συν το $$0$$, άρα $$\frac{p^n+1}{2}$$ το πλήθος τα οποία αποτελούν το σύνολο έστω $$M$$.

Από το παραπάνω Λήμμα τώρα, για $$A=B=M$$ και $$G$$ την προσθετική ομάδα των στοιχείων του σώματος παίρνουμε το ζητούμενο.

________________________________________________________________________

Δυο ακόμα λύσεις στο πρόβλημα από τον Βαγγέλη Μουρούκο και τον Δημήτρη Χριστοφίδη στο www.mathematica.gr.
________________________________________________________________________