Τρίτη 26 Ιουλίου 2011

Το Θεώρημα του Dwork

Η παρακάτω εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια του διατμηματικού μεταπτυχιακού προγράμματος των τμημάτων Μαθηματικού - Εφαρμοσμένου Μαθηματικού του Πανεπιστημίου Κρήτης στην κατεύθυνση "Θεωρητικά Μαθηματικά" με επιβλέποντα καθηγητή τον Νικόλαο Τζανάκη.

$\bullet$ Το Θεώρημα του Dwork (από το site του πανεπιστημίου Κρήτης).

Υπολογισμός ορίου ( Η πρόκληση του μήνα )

Ας υπολογισθεί, αν υπάρχει, το όριο:

$$\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln n}{n}\left(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\binom{n}{i}\binom{n}{j}i^{n-j}j^{n-i}\right)^{1/(2n)}$$

Τρίτη 19 Ιουλίου 2011

Διαγράμματα στο Latex (xy-pic)

Εδώ μπορεί κανείς να βρει το σχετικό εγχειρίδιο για την εγκατάσταση και χρήση του xy-pics το οποίο δίνει τη δυνατότητα δημιουργίας σχημάτων, γραφικών παραστάσεων, διαγραμμάτων και άλλων παρόμοιων αντικειμένων στο $\LaTeX$.

Σάββατο 16 Ιουλίου 2011

Όρια με εψιλοντικό ορισμό

Εδώ μπορεί κανείς να δει διάφορα παραδείγματα εύρεσης ορίων με χρήση του εψιλοντικού ορισμού.

Παρασκευή 15 Ιουλίου 2011

Κλασική Ανάλυση

Παρατίθενται διάφορες σχετικές ασκήσεις των οποίων οι λύσεις θα συμπληρώνονται. Όποιος ενδεχομένως ενδιαφέρεται μπορεί να δίνει σχόλια ή λύσεις κάνοντας χρήση $\LaTeX$.


Θέματα Κλασικής Ανάλυσης Φεβρουαρίου 2004 (Πανεπιστήμιο Κρήτης - Διδάσκων Μ.Παπαδημητράκης)


Ενδεικτική λύση του θέματος 1 :

$i)$ Για $x\geq0$ έχουμε $$\displaystyle\frac{x}{1+n^2x}>\frac{x}{n^2x}=\frac{1}{n^2}$$ και η $$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}$$ συγκλίνει, άρα από το κριτήριο του Weterstrass έχουμε ομοιόμορφη σύγκλιση στο $[0,+\infty)$.



$ii)$ Αφού για κάθε $m$ η $$\displaystyle\sum_{n=1}^{m}\frac{x}{1+n^2x}$$ είναι συνεχής στο $[0,+\infty)$ ως άθροισμα συνεχών και η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στο παραπάνω διάστημα, το ίδιο θα ισχύει και για την $$\displaystyle f(x):=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x}{1+n^2x}$$.

Για κάθε $n$ θέτω $$\displaystyle \frac{x}{1+n^2x}:=f_{n}(x)$$. Για $x>a$, τώρα, όπου $a>0$ τυχαίος, είναι

$$\displaystyle f_{n}^{\prime}=\frac{1}{(1+n^2x)^2}$$ με την $$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}f_{n}^{\prime}$$ να συγκλίνει ομοιόμορφα στο $[a,+\infty)$ από το κριτήριο Weierstrass, αφού για $x\geq a$, $$\displaystyle\frac{1}{(1+n^2x)^2}\leq\frac{1}{n^4}$$ με $$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}<+\infty$$. Έπεται ότι η $$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}f_{n}^{\prime}$$ είναι συνεχής στο $(0,+\infty)$ λόγω ομοιόμορφης σύγκλισης στο $[a,+\infty)$ και της τυχαίας επιλογής του $a$. Από το Θεώρημα $10.6$ τώρα σελ. $296$ εδώ, έχουμε ότι η $$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{1+n^2x}$$ συγκλίνει κατά σημείο στην $$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x}{1+n^2x}$$ στο $[a,+\infty)$ (κάτι που ήδη το ξέραμε), αλλά και επιπλέον η $f(x)$ είναι παραγωγίσιμη στο $[a,+\infty)$ με $$\displaystyle f^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}f_{n}^{\prime}$$. Αφού το $a$ ήταν τυχαίο, έπεται ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $(0,+\infty)$ με παράγωγο την $$\displaystyle f^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}f_{n}^{\prime}$$ η οποία είναι, όπως προαναφέρθηκε, συνεχής στο διάστημα αυτό.



$iii)$ Έχουμε $$\displaystyle \frac{f(x)-f(0)}{x}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{1+n^2x}>\sum_{n=1}^{[1/\sqrt{x}]}\frac{1}{1+n^2x}$$. Όμως για $x>0$ είναι

$$1\leq n\leq[1/\sqrt{x}]\Rightarrow\frac{1}{1+[1/\sqrt{x}]^2x}\leq\frac{1}{1+n^2x}\Rightarrow$$

$$\displaystyle\sum_{n=1}^{[1/\sqrt{x}]}\frac{1}{1+n^2x}\geq\sum_{n=1}^{[1/\sqrt{x}]}\frac{1}{1+[1/\sqrt{x}]^2x}=\frac{[1/\sqrt{x}]}{1+[1/\sqrt{x}]^2x}$$



και $$\displaystyle\frac{[1/\sqrt{x}]}{1+[1/\sqrt{x}]^2x}\geq\frac{1}{2}\left[\frac{1}{\sqrt{x}}\right]\Leftarrow x\left[\frac{1}{\sqrt{x}}\right]^2\leq1\Leftarrow\left[\frac{1}{\sqrt{x}}\right]\leq\frac{1}{\sqrt{x}}$$ που ισχύει.

Επίσης για $x>0$ είναι

$$\displaystyle\left[\frac{1}{\sqrt{x}}\right]\leq\frac{1}{\sqrt{x}}<\left[\frac{1}{\sqrt{x}}\right]+1\Rightarrow\frac{1}{2}\left[\frac{1}{\sqrt{x}}\right]>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-1\right).$$

Άρα

$$\frac{f(x)-f(0)}{x}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-1\right)\Rightarrow\lim_{x\to0^{+}}\frac{f(x)-f(0)}{x}=+\infty$$ 

και συνεπώς η $f$ δεν είναι παραγωγίσιμη στο $0$.




Πέμπτη 14 Ιουλίου 2011

Θεωρία Σωμάτων

Εδώ μπορείτε να βρείτε βασικές σημειώσεις στο μάθημα της Θεωρίας Σωμάτων από τον καθηγητή του Μαθηματικού Κρήτης Τζανάκη Νικόλαο.

_______________________________________________________________________


Υλικό στα αγγλικά που μπορεί κανείς να βρει στο δίκτυο :

$\bullet$ Fields and Galois Theory - J.M.Howie (with solutions),

$\bullet$ Algebra Through Practice - Book 3 - Groups Rings Fields (problem book),

$\bullet$ Algebra Through Practice - Book 6 - Rings Fields and Modules (problem book),

$\bullet$ Galois Theory (with solutions) Andrew Baker,

$\bullet$ Galois Theory (with solutions) J.S.Milne,

$\bullet$ Notes on Galois Theory (Sudhir R. Ghorpade),

$\bullet$ Problems - Solutions on Groups and Galois Theory (J.A.Beachy),

$\bullet$ Abstract Algebra (A Study Guide for Beginners) - J.A.Beachy (with solutions),

$\bullet$ Theorems - Examples on Galois Theory (Keith Conrad).

_______________________________________________________________________


Ελληνική βιβλιογραφία:

$\bullet$ Θεωρία Galois - Σ.Α.Ανδρεαδάκη εκδόσεις Συμμετρία 1999,

$\bullet$ Άλγεβρα - Κ.Λάκκη εκδόσεις Ζήτη 1984.

_______________________________________________________________________


Υλικό από τη σελίδα του αντίστοιχου μαθήματος του Μαθηματικού Αθηνών εδώ.

_______________________________________________________________________


Παρατίθενται διάφορες σχετικές ασκήσεις των οποίων οι λύσεις θα συμπληρώνονται. Όποιος ενδεχομένως ενδιαφέρεται μπορεί να δίνει σχόλια ή λύσεις κάνοντας χρήση $\LaTeX$.
Ασκήσεις Θεωρίας Σωμάτων (Τζανάκης Εαρινό Εξάμηνο 2011)


Θεωρία Σωμάτων (Τελικός Εαρινού Εξαμήνου 2011)

Κυριακή 10 Ιουλίου 2011

Empty Frame

Το μουσικό σχήμα των Empty Frame αποτελείται από τους :

$\bullet$  Αντώνη Βαβαγιάννη (φωνή, πιάνο, κιθάρες, μαντολίνο),

$\bullet$ Παναγιώτη Φέτση (φωνή, μπάσο),

$\bullet$ Χρήστο Καλλιμάνη (κιθάρες),

$\bullet$ Μπάμπη Βασιλειάδη (κρουστά),

$\bullet$ Ίσιδα Μουσά (τσέλο),

$\bullet$ Ματθαίο Δακουτρό (βιολί).

______________________________________________________________________


Σουρεαλισμός και ας νομίζουν ότι είμαστε εσκιμώοι 


«Empty Frame» ήταν το τραγούδι του Brian Eno για ένα πλοίο που, ταξιδεύοντας ακυβέρνητο στην καταιγίδα, καταλήγει να κάνει κύκλους στον ωκεανό όσο οι ναυτικοί του αποδέχονται το τέλος της λογικής.
Οι Empty Frame συνδυάζουν δημιουργικά τις επιρροές τους από τους τροβαδούρους του '70 με τον σύγχρονο προσωπικό τους ήχο Πρώτο θέμα  

Οι Empty Frame συνδυάζουν δημιουργικά τις επιρροές τους από τους τροβαδούρους του '70 με τον σύγχρονο προσωπικό τους ήχο Πρώτο θέμα.  Στα κύματα ενός πολύ δικού τους στιχουργικού υπερρεαλισμού, η ελληνική, αγγλόφωνη, μπάντα των «Empty Frame» διάλεξε τ' όνομά της το 2005, σαν να ήθελε να χρησιμοποιήσει την ιδέα του άδειου πλαισίου ως εκκίνηση άπειρων μουσικών δυνατοτήτων και ανοιχτών συνόρων. Από τα κλασικά έγχορδα στις ροκ κιθάρες, από τη μελωδικότητα της δεκαετίας του '70 στον σύγχρονο ήχο.

Πέρασαν πολλά χρόνια για να βγάλουν το πρώτο τους άλμπουμ. Ισως γιατί, αν και στην ανεξάρτητη μουσική σκηνή είχαν ήδη κάνει όνομα, στη δισκογραφική παραγωγή «They think we are Eskimos» («Νομίζουν ότι είμαστε Εσκιμώοι»), όπως είναι ο σουρεαλιστικός τίτλος της δισκογραφικής δουλειάς τους που κυκλοφόρησε («Legend») συστεγάζοντας 13 τραγούδια.

Τους «Empty Frame» χαρακτηρίζει μια συνειδητή επιλογή αγγλόφωνου στίχου, που δεν χρησιμοποιείται καλύπτοντας κάποια στιχουργική αμηχανία ή νοηματική φτώχεια. «Δεν υπήρξε ποτέ θέμα για τη γλώσσα του στίχου. Αυτή τη μουσική ακούγαμε όλοι κι αυτήν θέλαμε να παίξουμε. Τα τραγούδια μας βγήκαν στα αγγλικά, χωρίς καν να το σκεφτούμε. Ζούμε και στην εποχή του Ιντερνετ» λέει ο Αντώνης Βαβαγιάννης εκ μέρους του συγκροτήματος.

Οι στίχοι τους εκφράζουν τις κοινωνικοπολιτικές αγωνίες μιας σύγχρονης γενιάς, που ζει σ' αυτή την πόλη όχι μόνο παρατηρώντας ό,τι συμβαίνει, αλλά και συμμετέχοντας σε μια δύσκολη καθημερινότητα. Γι' αυτό μια προσωπική, σκοτεινή μελαγχολία βρίσκει επίσης τρόπο να εκφραστεί στιχουργικά, αν και φροντίζει οι μελωδίες της να λειτουργούν αντιστικτικά. Τα πιο σκληρά πράγματα λέγονται από τους «Empty Frame» με υπόκρουση λυρικές μελωδίες, άλλοτε ρομαντικές, folk ή indie, άλλοτε σε ένα συνειδητό διάλογο με τις μουσικές επιροές τους (Beatles, Jeff Buckley, Tom Waits, Nick Kave, Queens of the stone age) ή όπως λένε και οι ίδιοι «οποιαδήποτε καλή μουσική από οποιαδήποτε δεκαετία». Πάντα όμως με κοινό χαρακτηριστικό τη σύμπραξη κλασικών μουσικών οργάνων (τσέλο, μαντολίνο, πιάνο, βιολί) μ' έναν ροκ «ηλεκτρισμό».

Αντίστοιχα «μικτή» είναι και η σύνθεση του συγκροτήματος που αποτελείται εκτός από τον Βαβαγιάννη (φωνή, πιάνο, κιθάρες, μαντολίνο) και από τους Παναγιώτη Φέτση (φωνή, μπάσο), Χρήστο Καλλιμάνη (κιθάρες), Μπάμπη Βασιλειάδη (κρουστά), Ισιδα Μουσά (τσέλο), αλλά και το βιολιστή Ματθαίο Δακουτρό, που συνέπραξε για τις ανάγκες του δίσκου. Οι μισοί έχουν κάνει ωδειακές σπουδές και έχουν μαθητεύσει στην κλασική μουσική και οι άλλοι μισοί έρχονται από τη ροκ.

«Δεν υπάρχει καμία διαφωνία μεταξύ μας για το πού θα γείρει η πλάστιγγα. Από την αρχή δεν βάλαμε όριο. Είπαμε ότι θα παίζουμε ωραία μουσική. Οπότε ο καθένας φέρνει το κομμάτι που έχει γράψει και το δουλεύουμε όλοι μαζί. Ετσι βγαίνουν και οι αντιθέσεις. Το ίδιο ισχύει και για το στίχο. Καθένας γράφει για ό,τι τον προβληματίζει με τον τρόπο του». Βέβαια «η μελωδία είναι βασικό μας στοιχείο και θέλουμε να 'χουν νόημα ακόμα και τα ορχηστρικά μέρη. Είναι σημαντικό να 'ναι ένα κομμάτι συμπυκνωμένο».

Ο Βαβαγιάννης έχει επιπλέον δύο ιδιότητες. Είναι σκιτσογράφος, γνωστός στο χώρο του ανεξάρτητου κόμικς από τη σειρά «Κουραφέλκυθρα» που δημοσιεύεται κάθε Τρίτη στο comicart.gr. Και επίσης είναι δάσκαλος σε Δημοτικό. «Σπούδασα ταυτόχρονα στην Παιδαγωγική και πιάνο και θεωρητικά στο Ωδείο Αθηνών - με σκοπό να δουλέψω ως μουσικός. Αλλά...». Αυτό το «αλλά» πέφτει βαρύτερο σε άλλα μέλη του συγκροτήματος, που ψάχνουν δουλειά. Εννοείται ότι δεν βιοπορίζονται από τη μουσική, ανήκοντας άλλωστε σε μια γενιά που ο βιοπορισμός από την καλλιτεχνία γίνεται ένα όλο και πιο απίθανο ενδεχόμενο. Η ανεργία αλλά και όλη η σημερινή ελληνική πράγματικότητα «είναι κάτι που σε εμποδίζει, σου δημιουργεί δυσάρεστη διάθεση, αλλά και σ' εμπνέει να μιλήσεις και να παίξεις μουσική εναντίον της κατάστασης» λέει ο Βαβαγιάννης.

Με τον Καλλιμάνη, τον Βασιλειάδη και τον Φέτση ήταν πολλά χρόνια φίλοι προτού να αποφασίσουν το 2005 να κάνουν το συγκρότημα - με την άφιξη και της Μουσά. Ενα χρόνο αργότερα έβγαλαν το demo που έπαιξε σε μερικά ραδιόφωνα, διασκεύασαν Γιαννίδη («Πόσο λυπάμαι»), έδωσαν συναυλίες. Υστερα ήρθε και η στιγμή για το άλμπουμ που είναι δικής τους παραγωγής.
Γιατί «They think we are Eskimos»;

«Μας αρέσει ιδιαίτερα ο σουρεαλισμός, όπως μας αρέσει να αφήνουμε κάτι ανοιχτό στη διάθεση του άλλου να το ερμηνεύσει. Αλλά ο συγκεκριμένος τίτλος έχει να κάνει και με τον κοινωνικό αποκλεισμό και με το πόσο εύκολα κάποιοι αποκλείουν κοινωνικά κάποιους άλλους - κι εμάς».

______________________________________________________________________

$\bullet$ Ακούστε τους Empty Frame στο myspace.

______________________________________________________________________

$\bullet$ Επισκεφθείτε το site των Empty Frame στο http://www.emptyframe.net/.

______________________________________________________________________

Δανειακή Σύμβαση - Εφαρμοστικός Νόμος

Εδώ μπορεί κανείς να διαβάσει τα αντίστοιχα έγγραφα για τη Δανειακή Σύμβαση και τον Εφαρμοστικό Νόμο.

Μετάλλια της Εθνικής Ομάδας Πληροφορικής

Χρυσό μετάλλιο στην Διεθνή Βαλκανιάδα Πληροφορικής από το μαθητή Κυριάκο Αξιώτη του 2ου Γελ Γέρακα και χάλκινο μετάλλιο στην Διεθνή Βαλκανιάδα Πληροφορικής Νέων από το μαθητή Χρήστο Πόριο του 3ου Γυμνασίου Αλεξανδρούπολης.

Δείτε περισσότερες πληροφορίες στο Δελτίο Τύπου.

Τετάρτη 6 Ιουλίου 2011

Ανάλυση ΙΙ (Θέματα και Λύσεις Τελικής Εξέτασης Εαρινού Εξαμήνου 2010 - 2011)

Θεωρία Δακτυλίων και Modules

Υλικό στα αγγλικά που μπορεί κανείς να βρει στο δίκτυο :

$\bullet$ Introductory Lectures on Rings and Modules - J.A.Beachy (problems - solutions),

$\bullet$ Exercises in Basic Ring Theory - P.Hamburg G.Calugareanu (problem book),

$\bullet$ Algebra Through Practice - Book 3 - Groups Rings Fields (problem book),

$\bullet$ Algebra Through Practice - Book 6 - Rings Fields and Modules (problem book),

$\bullet$ Rings and Factorization - David Sharpe (with solutions).

________________________________________________________________________


Υλικό από τη σελίδα του αντίστοιχου μαθήματος του Μαθηματικού Αθηνών εδώ.

________________________________________________________________________


Παρατίθενται διάφορες σχετικές ασκήσεις των οποίων οι λύσεις θα συμπληρώνονται. Όποιος ενδεχομένως ενδιαφέρεται μπορεί να δίνει σχόλια ή λύσεις κάνοντας χρήση $\LaTeX$.




Θέματα και Λύσεις Τελικής Εξέτασης Εαρινού Εξαμήνου 2010 - 2011




Θέματα Φεβρουαρίου 2004




Θέματα Ιουνίου 2003




Θέματα Σεπτεμβρίου 2003