Δευτέρα, 1 Αυγούστου 2011

Αβελιανή ομάδα και αυτομορφισμός

Να δειχθεί ότι μία ομάδα $$G$$ είναι αβελιανή, αν και μόνο, αν η απεικόνιση $$f:G \mapsto G : a \mapsto f(a)=a^{-1}$$ είναι αυτομορφισμός.

(Η άσκηση τέθηκε από το Σωτήρη Χασάπη στο www.mathematica.gr).

 Λύση
(Αναστασίου Κοτρώνη)
$$(\Rightarrow)$$ Είναι $$f(ab)=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\stackrel{\boxed{*}}{=}a^{-1}b^{-1}=f(a)f(b)$$

$$\boxed{*}$$ Επειδή η $$G$$ είναι αβελιανή, άρα η $$f$$ είναι ομομορφισμός.

$$\mathrm{ker(f)}=\{a\in G:f(a)=a^{-1}=e\}=\{a\in G:a=e\}=\{e\}$$, αρα η $$f$$ είναι μονομορφισμός.

Προφανώς τώρα για $$ a\in G$$ είναι $$f(a^{-1})=a$$ με $$a^{-1}\in G$$, άρα η $$f$$ είναι και επιμορφισμός.

$$(\Leftarrow)$$ Έστω $$a,b\in G$$. Είναι $$ab\stackrel{\boxed{*}}{=}f(a^{-1})f(b^{-1})\stackrel{\boxed{**}}{=}f(a^{-1}b^{-1})=f\left((ba\color{black})^{-1}\right)=ba$$

$$\boxed{*}$$ Επειδή η $$f$$ είναι επιμορφισμός και
 
$$\boxed{**}$$ Επειδή η $$f$$ είναι ομομορφισμός.                                                                

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου