Δευτέρα, 15 Αυγούστου 2011

Ανισότητα

Να δείξετε ότι $$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}} \sin (\cos x)\,\mathrm{dx }>\frac{8}{9}$$.

(Η άσκηση προτάθηκε από το Βασίλη Μαυροφρύδη στο www.mathematica.gr)


Λύση
Αναστασίου Κοτρώνη 

Από την άσκηση Β3 του σχολικού ερώτημα $$ii)$$ β), ξέρουμε ότι $$\sin x\geq x-\frac{x^3}{3!}$$ με την ισότητα να ισχύει μόνο στο $$0$$.

Έπεται ότι για κάθε $$x\in[0,\pi/2]$$ είναι $$\sin (\cos x)\geq \cos x-\frac{\cos ^3x}{3!}$$ με την ισότητα να ισχύει μόνο στο $$\pi/2$$.

Άρα $$\int_{0}^{\pi/2}\sin(\cos x)\,dx>\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx-\frac{1}{6}\int_{0}^{\pi/2}\cos^3x\,dx=1-\frac{1}{6}\int_{0}^{\pi/2}\cos^3x\,dx=$$

$$1-\frac{1}{6}\int_{0}^{\pi/2}(1-\sin^2x)\cos x\,dx\stackrel{\sin x=y}{=}1-\frac{1}{6}\int_{0}^{1}1-y^2\,dy=8/9$$. 


________________________________________________________________________

Σε έγγραφο

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου