Δευτέρα, 1 Αυγούστου 2011

Ομομορφισμοί πεπερασμένων κυκλικών ομάδων

Να βρεθούν όλοι οι ομομορφισμοί ομάδων από το $\mathbb Z_{n}$ στο $\mathbb Z_{m}$.

Λύση

Με $$=_{m}$$ εννοούμε ισότηητα $\pmod{m}$.

Δείχνουμε ότι                                $$ A:=\mathrm{Hom}(\mathbb Z _{n},\mathbb Z _{m})=$$

$$\left\{f:\mathbb Z _{n}\to\mathbb Z _{m}\,\,:\,\, f(a)=ak\pmod{m},\,k\in\{0,\ldots,m-1\},\,\,a\in\mathbb Z _{n},\,\,m\mid kn\right\}:=B$$

$$(\subseteq)$$ Έστω $$f\in A$$ με $$f(1)=_{m}k$$. Αφού $$1=_{n}n+1$$ και η $$f$$ είναι καλώς ορισμένη συνάρτηση, θα έχουμε $$f(1)=_{m}f(n+1)\Rightarrow k=_{m}k(n+1)\Rightarrow m\mid kn$$.

Επίσης για$$a\in\mathbb Z_{n}$$, $$f(a)=af(1)=ak$$.

$$(\supseteq)$$ Έστω$$f\in B$$. Θα δείξουμε ότι

$$i)$$ η $$f$$ είναι μια καλώς ορισμένη συνάρτηση και

$$ii)$$ η $$f$$ είναι ομομορφισμός.

$$i)$$ Αν $$a_{1}=_{n}a_{2}$$ τότε $$n\lambda=a_{1}-a_{2}$$ για κάποιο $$\lambda\in\mathbb Z$$. Όμως τότε $$m\mid kn\Rightarrow m\mid kn\lambda\Rightarrow m|k(a_{1}-a_{2})\Rightarrow ka_{1}=_{m}ka_{2}\Rightarrow f(a_{1})=_{m}f(a_{2})$$.

$$ii)$$ $$f(a_{1}+a_{2})=(a_{1}+a_{2})k=_{m}a_{1}k+a_{2}k=f(a_{1})+f(a_{2})$$.

________________________________________________________________________

Προκειμένου να κάνουμε λίγο απλούστερη την περιγραφή του $$B$$, μπορούμε να δείξουμε ότι, με το ίδιο συμβολισμό του Βαγγέλη :

Αν $$d=(m,n)$$, $$m=m_{1}d$$, $$n=n_{1}d$$ με $$(m_{1},n_{1})=1$$ , τότε :

$$k\in\{0,\ldots,m-1\}\,\,\wedge\,\,m\mid kn\Leftrightarrow k=\lambda m_{1}\,\,\wedge\,\,\lambda\in\{0,\ldots,d-1\}$$.

Πράγματι :

$$(\Rightarrow)\quad m\mid kn\Rightarrow m_{1}d\mid kn_{1}d\Rightarrow m_{1}\mid kn_{1}\stackrel{(m_{1},n_{1})=1}{\Rightarrow}$$

$$m_{1}\mid k\stackrel{k\in\{0,\ldots,m-1\}}{\Rightarrow}k=\lambda m_{1}$$ με $$\lambda\in\{0,\ldots,d-1\}$$.

$$(\Leftarrow)$$ Προφανές

________________________________________________________________________

Μια ακόμα λύση από το Βαγγέλη Μουρούκο στο www.mathematica.gr.
 ________________________________________________________________________

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου