Αναδρομική ακολουθία

Έστω $x_{n+1}=x_{n}+x_{n}^{-1/k}$ με $k\in\mathbb N$ και $x_{0}>0$. Δείξτε ότι

$$\frac{x_{n}^{k+1}}{n^k}=\left(1+\frac{1}{k}\right)^k+\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k-1}\frac{\ln n}{n}+\mathcal O(1/n).$$

Αυτή η άσκηση είναι γενίκευση της B6 2006 του αμερικανικού φοιτητικού μαθηματικού διαγωνισμού Putnam.

Η μέθοδος που παρουσιάζεται είναι αρκετά και έχει εφαρμογή σε αρκετές παρόμοιες περιπτώσεις όπου έχουμε αναδρομική σχέση της μορφής $x_{n+1}=f(x_{n})$ για κάποια συνεχή συνάρτηση $f$.

Λύση

Εύκολα δείχνουμε ότι η $x_{n}$ αυξάνει στο $+\infty$. 

Αναζητούμε $a\in\mathbb Z^*$ ώστε $x_{n+1}^a-x_{n}^a\to\ell\in\mathbb R^*$ για να κάνουμε μια πρώτη εκτίμηση για την $x_{n}$. Έχουμε λοιπόν

$$x_{n+1}^a-x_{n}^a=x_{n}^a\left[\left(a+x_{n}^{-1/k-1}\right)^a-1\right]\stackrel{*}{=}$$

$$x_{n}^a\left(ax_{n}^{-1/k-1}+\frac{a(a-1)}{2}x_{n}^{-2/k-2}+\mathcal O(x_{n}^{-3/k-3})\right)\qquad (1)$$

Για $a=1/k+1$ η $(1)$ θα δώσει

$$x_{n+1}^{1/k+1}-x_{n}^{1/k+1}=\frac{1}{k}+1+\frac{k+1}{2k^2}x_{n}^{-1/k-1}+\mathcal O(x_{n}^{-2/k-2})\qquad (2)$$

Από τη $(2)$ βλέπουμε ότι $$x_{n+1}^{1/k+1}-x_{n}^{1/k+1}\to\frac{1}{k}+1$$ άρα για μεγάλο $n$ θα είναι $$x_{n+1}^{1/k+1}-x_{n}^{1/k+1}>\frac{k+1}{2k}$$ και αθροίζοντας την προηγούμενη ανισότητα για $n$ διαδοχικύς όρους θα πάρουμε $$x_{n}^{1/k+1}>\frac{n(k+1)}{2k}$$, κάτι που δείχνει ότι $x_{n}^{-1/k-1}=\mathcal O(1/n)$. Με αυτό η $(2)$ θα δώσει

$$x_{n+1}^{1/k+1}-x_{n}^{1/k+1}=\frac{1}{k}+1+\mathcal O(1/n)$$

και αθροίζοντας πάλι για $n$ διαδοχικούς όρους την πάνω ισότητα θα πάρουμε

$$x_{n}^{1/k+1}=n\frac{k+1}{k}+\mathcal O(\ln n)$$, (αφού $$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\sim\ln n$$).

Το παραπάνω με τη σειρά του θα δώσει ότι

$$x_{n}^{-1/k-1}=\frac{k}{n(k+1)}\cdot\frac{1}{1+\mathcal O\left(\frac{\ln n}{n}\right)}=\frac{k}{n(k+1)}+\mathcal O\left(\frac{\ln n}{n^2}\right)$$

και με την τελευταία αυτή εκτίμηση η $(2)$ θα δώσει

$$x_{n+1}^{1/k+1}-x_{n}^{1/k+1}=\frac{k+1}{k}+\frac{k+1}{2k^2}\left(\frac{k}{n(k+1)}+\mathcal O\left(\frac{\ln n}{n^2}\right)\right)=$$

$$\frac{k+1}{k}+\frac{1}{2kn}+\mathcal O\left(\frac{\ln n}{n^2}\right)\qquad(3)$$

Αθροίζοντας την $(3)$ για $n$ διαδοχικούς όρους παίρνουμε $$x_{n}^{1/k+1}=n\frac{k+1}{k}+\frac{\ln n}{2k}+\mathcal O(1)$$ (αφού η $$\sum_{k=1}^{n}\frac{\ln k}{k^2}$$ είναι φραγμένη) άρα

$$x_{n}^{k+1}=\left(n\frac{k+1}{k}+\frac{\ln n}{2k}+\mathcal O(1)\right)^k=\left(\frac{n(k+1)}{k}\right)^k\left(1+\frac{\ln n}{2n(k+1)}+\mathcal O(1/n)\right)^k\Rightarrow$$

$$\frac{x_{n}^{k+1}}{n^k}=\left(1+\frac{1}{k}\right)^k+\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k-1}\frac{\ln n}{n}+\mathcal O(1/n).$$

* Από το δυωνυμικό ανάπτυγμα 

________________________________________________________________________

Σχετικά θέματα : Εύρεση ορίου, Ακολουθία (2).

________________________________________________________________________