Σάββατο, 27 Αυγούστου 2011

Συμμετρία και ολοκλήρωμα

Αν είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης f έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο $$M(\lambda,0)$$ να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:
$$\int_{\lambda-x}^{\lambda+x}f(t)\,dt$$,  $$x \in \mathbb{R}$$ 
(Προτάθηκε από το Θωμά Ραϊκόφτσαλη στο www.mathematica.gr)


Λύση
Αναστασίου Κοτρώνη

$$I=\int_{\lambda-x}^{\lambda+x} f(t)\,dt\stackrel{t=y+\lambda}{=}\int_{-x}^{x}f(y+\lambda)\,dy\stackrel{f(\lambda+y)=-f(\lambda-y)}{=}$$

$$\int_{-x}^{x}-f(\lambda-y)\,dy\stackrel{\lambda-y=u}{=}\int_{\lambda+x}^{\lambda-x} f(u)\, du=-I$$.

Συνεπώς $$I=0$$.

________________________________________________________________________

Σε έγγραφο

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου