Ελάχιστο συνάρτησης ορισμένης μέσω ολοκληρώματος

Ας βρεθεί η τιμή του $$a\in\mathbb R$$ για την οποία η $$I(a):=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{e^{ax}}{1+\cos x}\,dx$$ γινεται ελάχιστη και να βρεθεί η ελάχιστη αυτή τιμή της.

(Από το βιβλίο "Probleme de Calcul Integral" Radu Miculescu Cezar Lupu 2005)

 Λύση

Σπύρου Καπελλίδη

Κάνοντας την αλλαγή $$t=-x$$ έχουμε $$I(a)=\int_{-\frac {\pi}{2}}^{\frac {\pi}{2}}\frac {e^{-at}}{1+\cos t}dt$$ άρα $$2I(a)=\int_{-\frac {\pi}{2}}^{\frac {\pi}{2}}\frac {e^{-ax}+e^{ax}}{1+\cos x}dx \ge \int_{-\frac {\pi}{2}}^{\frac {\pi}{2}}\frac {2}{1+\cos x}dx$$, άρα $$I(a)\ge \int_{-\frac {\pi}{2}}^{\frac {\pi}{2}}\frac {1}{1+\cos x}dx$$,

με το $$=$$ να ισχύει όταν $$a=0$$. Το ζητούμενο ελάχιστο είναι το

$$\int_{-\frac {\pi}{2}}^{\frac {\pi}{2}}\frac {1}{1+\cos x}dx=\int_{-\frac {\pi}{2}}^{\frac {\pi}{2}}\frac {1}{2\cos^2\frac {x}{2}}dx$$ $$ =\int_{-\frac {\pi}{4}}^{\frac {\pi}{4}} \frac {1}{\cos^2u}du=2\tan\frac {\pi}{4}=2$$

________________________________________________________________________

Σε έγγραφο