Υπαρξιακή με ανισότητα (1)

Έστω συνάρτηση $$f:[a,b]\to\mathbb{R}$$ δυο φορές παραγωγίσιμη και $$f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$$. Ας δειχθεί ότι υπάρχει $$\xi\in(a,b)$$ τέτοιο ώστε $$|f(b)-f(a)|\leq \displaystyle\frac{(b-a)^{2}}{4}|f^{\prime}^{\prime}(\xi)|$$.

Λύση

Αναστασίου Κοτρώνη

Θεωρούμε τη δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση 

$$F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(\frac{a+b}{2})-f(a)}{\big(\frac{b-a}{2}\big)^{2}}(x-a)^{2}$$ στο διάστημα $$[a,\frac{a+b}{2}]$$.

Είναι $$F(a)=F(\frac{a+b}{2})=0$$, άρα από Rolle υπάρχει $$\xi\in(a,\frac{a+b}{2})$$ με $$F^{\prime}(\xi)=0$$.
Όμως είναι και $$F^{\prime}(a)=0$$, (αφού $$f^{\prime}(a)=0$$), άρα από Rolle στο διάστημα $$[a,\xi]$$ για την $$F^{\prime}$$, υπάρχει $$\xi_{a}\in(a,\xi)\subseteq(a,\frac{a+b}{2})$$ με $$F^{\prime}^{\prime}(\xi_{a})=0$$, άρα 

$$f^{\prime\prime}(\xi_{a})=2\frac{f\left(\frac{a+b}{2}\right)-f(a)}{\left(\frac{b-a}{2}\right)^{2}}$$, ή 

$$-f(a)=\frac{f^{\prime\prime}(\xi_{a})}{2}\left(\frac{b-a}{2}\right)^{2}-f\left(\frac{a+b}{2}\right)\qquad(1)$$.

Θεωρούμε τη δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση 

$$G(x)=f(x)-f(\frac{a+b}{2})-\frac{f(b)-f(\frac{a+b}{2})}{\big(\frac{b-a}{2}\big)^{2}}(x-\frac{a+b}{2})^{2}$$ στο διάστημα $$[\frac{a+b}{2},b]$$.

Είναι $$G(\frac{a+b}{2})=G(b)=0$$, άρα από Rolle υπάρχει $$\xi\in(\frac{a+b}{2},b)$$ με $$G^{\prime}(\xi)=0$$.
Όμως είναι και $$G^{\prime}(b)=0$$, (αφού $$f^{\prime}(b)=0$$), άρα από Rolle στο διάστημα $$[\xi,b]$$ για την $$G^{\prime}$$, υπάρχει $$\xi_{b}\in(\xi,b)\subseteq(\frac{a+b}{2},b)$$ με $$G^{\prime}^{\prime}(\xi_{b})=0$$, άρα 

$$f^{\prime}^{\prime}(\xi_{b})=2\frac{f(b)-f(\frac{a+b}{2})}{\big(\frac{b-a}{2}\big)^{2}}$$, ή 

$$f(b)=\frac{f^{\prime\prime}(\xi_{b})}{2}\big(\frac{b-a}{2}\big)^{2}+f(\frac{a+b}{2})\qquad(2)$$.

 Η $$|(1)+(2)|$$ τώρα δίνει 

$$|f(b)-f(a)|=\frac{1}{2}|f^{\prime}^{\prime}(\xi_{b})-f^{\prime}^{\prime}(\xi_{b})|\left(\frac{b-a}{2}\right)^{2}\leq\max\{|f^{\prime\prime}(\xi_{a})|,|f^{\prime\prime}(\xi_{b})|\}\cdot\left(\frac{b-a}{2}\right)^{2}$$.

_______________________________________________________________________

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Περιηγηθείτε με firefox γιατί άλλοι περιηγητές (όπως ο chrome) παρουσιάζουν πρόβλημα στην εμφάνιση του κώδικα (ευχαριστώ το φίλο Γιάννη Αυγουλέα για την επισήμανση)

_______________________________________________________________________

Σε έγγραφο