Έστω η συνεχής συνάρτηση $$f:\mathbb R \to\mathbb R$$ με την ιδιότητα $$\int_{x}^{x+y}f(t)\,dt = \int_{x-y}^{x}f(t)\,dt$$ για κάθε $$x,y \in \mathbb R$$. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση $f$ είναι σταθερή.
(Το θέμα αυτό προτάθηκε από το Στράτο Παπαδόπουλο στο www.mathematica.gr)
Έστω $$x\in\mathbb R$$ τυχαίο αλλά σταθερό. Αφού η $$f$$ είναι συνεχής, παραγωγίζοντας τη δοθείσα θεωρούμενη ως συνάρτηση του $$y$$ θα πάρουμε $$f(x+y)=f(x-y)$$. Αφού το $$x$$ ήταν τυχαίο έχουμε
(Το θέμα αυτό προτάθηκε από το Στράτο Παπαδόπουλο στο www.mathematica.gr)
Λύση
Αναστασίου Κοτρώνη
Έστω $$x\in\mathbb R$$ τυχαίο αλλά σταθερό. Αφού η $$f$$ είναι συνεχής, παραγωγίζοντας τη δοθείσα θεωρούμενη ως συνάρτηση του $$y$$ θα πάρουμε $$f(x+y)=f(x-y)$$. Αφού το $$x$$ ήταν τυχαίο έχουμε
$$f(x+y)=f(x-y)\,\,\forall x,y\in\mathbb R\qquad(1)$$.
Έστω τώρα ότι υπάρχουν $$x_{1}<x_{2}$$ με $$f(x_{1})\neq f(x_{2})$$. Τότε από την $$(1)$$ για $$x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$$ και $$y=\frac{x_{2}-x_{1}}{2}$$ παίρνουμε άτοπο.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Σε έγγραφο
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου