Τρίτη, 6 Σεπτεμβρίου 2011

Όριο με ολοκλήρωμα (2)

Εάν $$f:\left[ {0,2010} \right] \to R$$ συνεχής,να υπολογιστεί το όριο
$$\lim_{a \to+\infty }\int_{0}^{2010}\frac{f\left( x \right)}{x + a}\,dx$$.

(Το θέμα αυτό προτάθηκε από το Βασίλη Μαυροφρύδη στο www.mathematica.gr)

Λύση
Κοτρώνη Αναστασίου

Για $$a>0$$ είναι

$$0\leq\Big|\int_{0}^{2010}\frac{f(x)}{x+a}\,dx\Big|\leq\int_{0}^{2010}\Big|\frac{f(x)}{x+a}\Big|\,dx\stackrel{*}{=}2010\frac{|f(\xi_{a})|}{\xi_{a}+a}\stackrel{**}{\leq}$$

$$2010\frac{\displaystyle{\max_{x\in[0,2010]}|f(x)|}}{a}\stackrel{a\to+\infty}{\longrightarrow}0$$.


* Από το Θεώρημα μέσης τιμής διαφορικού λογισμού στην παραγωγίσιμη συνάρτηση $$g(y):=\int_{0}^{y}\Big|\frac{f(x)}{x+a}\Big|\,dx$$ (η ολοκληρωτέα είναι συνεχής) στο διάστημα $[0,2010]$

** Η $|f(x)|$ ως συνεχής έχει μέγιστη τιμή στο $[0,2010]$.

________________________________________________________________________

Σε έγγραφο

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου