Έστω $$f: [0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$$ με $$f(0) = - 1$$ παραγωγίσιμη και τέτοια ώστε $$\left|f(x) - f^{\prime}(x)\right| < 1, \, \forall x\geq 0.$$ Εξετάστε το $$\lim_{x\to+\infty}f(x)$$
(Η άσκηση αυτή προτάθηκε από το μέλος felixman στον ιστότοπο www.artofproblemsolving.com.).
(Η άσκηση αυτή προτάθηκε από το μέλος felixman στον ιστότοπο www.artofproblemsolving.com.).
Λύση
Του μέλους hpe στο www.artofproblemsolving.com
Θέτουμε $$g(x)=e^{-x}f(x)$$. Τότε $$g(0)=-1$$ και για $$x\geq0$$ είναι
$$g^{\prime}(x)=e^{-x}(f^{\prime}(x)-f(x))\leq e^{-x}|f^{\prime}(x)-f(x)|<e^{-x},$$
άρα $$(g(x)+e^{-x})^{\prime}<0$$ συνεπώς η $$g(x)+e^{-x}$$ είναι γνησίως φθίνουσα. Έπεται ότι
$$x>1\Rightarrow e^{-x}(f(x)+1)=g(x)+e^{-x}<\underbrace{g(1)+e^{-1}}_{:=c}<g(0)+e^{-0}=0,$$
άρα $$f(x)<-1+ce^{x}$$ με $$c<0$$, από όπου έπεται ότι $$\lim_{x\to+\infty}=-\infty$$.
_____________________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________________
Σε έγγραφο
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου