Συμπεριφορά πλήρους ελλειπτικού ολοκληρώματος α' είδους ως προς την παράμετρο

Αν $$0<k<1$$, δείξτε ότι

$$\lim_{k\to1^{-}}-\frac{1}{\log\sqrt{1-k}}\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^{2}x^{2})}}\,dx=1$$.

$$\Big($$Το παραπάνω δέιχνει ότι $$\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^{2}x^{2})}}\,dx\stackrel{k\to1^{-}}{\sim}-\log\sqrt{1-k}$$, δηλαδή ότι για μεγάλες τιμές του $k$, η $$I(k):=}\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^{2}x^{2})}}\,dx$$ συμπεριφέρεται όπως η $$-\log\sqrt{1-k}$$ $$\Big)$$.
___________________________________________________________________________

Μια προσέγγιση με στοιχειώδη μέσα. Μόνο με χρήση της προσέγγισης Taylor:

Έχουμε $$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-(tx)^2)}}=\frac{1}{(1+x)^{1/2}}\frac{1}{(1+tx)^{1/2}}\frac{1}{\sqrt{(1-x)(1-tx)}}}$$.

Έστω $$t$$ σταθερό πολύ κοντά στο $$1$$ από αριστερά.

Αναπτύσσουμε σε σειρά γύρω από το σημείο που έχουμε το πρόβλημα, το $$1$$, τους παράγοντες που δεν απειρίζουν την ολοκληρωτέα:

Είναι $$\displaystyle{\frac{1}{(1+x)^{1/2}}=\frac{1}{\sqrt{2-(1-x)}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1-x}{2}}}\stackrel{*}{=}\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1+\mathcal O(1-x)\right)=$$

$$\frac{1}{\sqrt{2}}+\mathcal O(1-x)\stackrel{**}{=}\frac{1}{\sqrt{2}}+\mathcal O(1-tx)}$$

$$*$$ Από την προσέγγιση Taylor της $$(1-x)^{-1/2}$$, αφού  $$\displaystyle{0\leq\frac{1-x}{2}<\frac{1}{2}}$$,

$$**$$  Αφού $$0\leq1-x\leq1-tx$$.


Αντίστοιχα

$$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{1+tx}}=\frac{1}{\sqrt{t+1}}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1-x}{(t+1)/t}}}\stackrel{*}{=}\frac{1}{\sqrt{t+1}}\left(1+\mathcal O\left(\frac{1-x}{(t+1)/t}\right)\right)\stackrel{**}{=}$$

$$\frac{1}{\sqrt{t+1}}+\mathcal O(1-x)=\frac{1}{\sqrt{t+1}}+\mathcal O(1-tx)}$$

$$*$$Από την προσέγγιση Taylor της $$(1-x)^{-1/2}$$, αφού  $$\displaystyle{0\leq\frac{1-x}{(t+1)/t}\leq\frac{t}{t+1}<1}$$,

$$**$$  αφού το $$(t+1)/t$$ είναι φραγμένο για $$t$$ πολύ κοντά στο$$1$$.

Έπεται λοιπόν ότι

$$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-(tx)^2)}}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\mathcal O(1-tx)\right)\left(\frac{1}{\sqrt{t+1}}+\mathcal O(1-tx)\right)\frac{1}{\sqrt{(1-x)(1-tx)}}=$$

$$\left(\frac{1}{\sqrt{2t+2}}+\mathcal O(1-tx)\right)\frac{1}{\sqrt{(1-x)(1-tx)}}=}$$

$$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2t+2}}\frac{1}{\sqrt{(1-x)(1-tx)}}+\mathcal O\left(\sqrt{\frac{1-tx}{1-x}}\right)\stackrel{*}{=}\frac{1}{\sqrt{2t+2}}\frac{1}{\sqrt{(1-x)(1-tx)}}+\mathcal O\left(\frac{1}{\sqrt{1-x}}\right)}$$

$$*$$ αφού  $$0<\sqrt{1-tx}\leq1$$.

Ολοκληρώνοντας τώρα από $$0$$ ως $1$,

$$\displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-(tx)^2)}}\,dx=\frac{1}{\sqrt{2t+2}}\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{(1-x)(1-tx)}}\,dx+\mathcal O\left(\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x}}\,dx\right)\stackrel{*}{=}$$

$$\frac{1}{\sqrt{2t+2}}\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{(1-x)(1-tx)}}\,dx+\mathcal O\left(1\right)}$$

$$*$$ αφού το $$\displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x}}\,dx}$$ συγκλίνει.

Με αλλαγή μεταβλητής τώρα $$\sqrt{(1-x)(1-tx)}=(1-x)y$$βρίσκουμε ότι

$$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2t+2}}\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{(1-x)(1-tx)}}\,dx+\mathcal O\left(1\right)=\sqrt{\frac{2}{(t+1)t}}\ln\frac{\sqrt{1-tx}-\sqrt{t(1-x)}}{\sqrt{1-t}}\Big|_{0}^{1}+\mathcal O(1)=$$

$$\sqrt{\frac{2}{(t+1)t}}\left(1-\ln\sqrt{1-t}\right)+\mathcal O(1)}$$

$$\displaystyle{\stackrel{*}{=}-\ln\sqrt{1-t}+\mathcal O(1)}$$

$$*$$ αφού $$\displaystyle{\left(\sqrt{\frac{2}{(t+1)t}}\left(1-\ln\sqrt{1-t}\right)\right)\Big/-\ln\sqrt{1-t}\stackrel{t\to1^-}{\longrightarrow}1}$$.

Θα μπορούσαμε να προσεγγίσουμε καλύτερα τη συμπεριφορά του ελλειπτικού ολοκληρώματος, αν προσεγγίζαμε εξαρχής καλύτερα το κομμάτι που δεν απειρίζει την ολοκληρωτέα.