Διάφορα θεωρήματα μέσης τιμής. Των Cezar Lupu και Tudorel Lupu. (Αγγλικό έγγραφο).
Σάββατο 25 Ιουνίου 2011
Μια ενδιαφέρουσα συλλογή ασκήσεων Ανάλυσης στα Ρουμάνικα. Του Mircea Olteanu
Μια ενδιαφέρουσα συλλογή ασκήσεων Ανάλυσης στα Ρουμάνικα. Του Mircea Olteanu
Υπολογισμός απείρου αθροίσματος
Ας υπολογιστεί το ακόλουθο άπειρο άθροισμα : $$\sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^k\frac{\ln k}{k}$$.
Σχόλιο : Το παραπάνω άθροισμα σχετίζεται με τη συνάρτηση ζήτα του Riemann.
________________________________________________________________________
Ένας στοιχειώδης τρόπος υπολογισμού του παραπάνω αθροίσματος:
Θέτω $$\displaystyle{S_{n}:=\sum_{k=1}^{n}(-1)^k\frac{\ln k}{k}}$$ και παρατηρώ αρχικά ότι η σειρά συγκλίνει από το κριτήριο Dirichlet, αφού η $$(-1)^k$$ έχει φραγμένα μερικά αθροίσματα και η $$\displaystyle{\frac{\ln k}{k}}$$ είναι τελικά φθίνουσα στο $$0$$.
Έπεται ότι $$\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\frac{\ln k}{k}=\lim_{n\to+\infty}S_{2n}}$$.
Τώρα:
$$\displaystyle{S_{2n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\ln2k}{2k}-\sum_{k=1}^{n}\frac{\ln(2k-1)}{2k-1}=\frac{\ln2}{2}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\frac{\ln k}{k}-\left(\sum_{k=1}^{2n}\frac{\ln k}{k}-\sum_{k=1}^{n}\frac{\ln2k}{2k}\right)=$$
$$\ln2H_{n}+\sum_{k=1}^{n}\frac{\ln k}{k}-\sum_{k=1}^{2n}\frac{\ln k}{k}=\ln2H_{n}-\sum_{k=1}^{n}\frac{\ln(n+k)}{n+k}=\ln2H_{n}-\sum_{k=1}^{n}\frac{\ln n+\ln(1+k/n)}{n+k}=}$$
$$\displaystyle{\ln2H_{n}-\ln n(H_{2n}-H_{n})-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{\ln(1+k/n)}{1+k/n}=}$$
$$\displaystyle{H_{n}\ln(2n)-H_{2n}\ln n-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{\ln(1+k/n)}{1+k/n}\stackrel{H_{n}=\ln n+\gamma+\mathcal O(1/n)}{=}}$$
$$\displaystyle{\gamma\ln2+\mathcal O(1/n)-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{\ln(1+k/n)}{1+k/n}\to\gamma\ln2-\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{1+x}\,dx=\gamma\ln2-\frac{\ln^22}{2}}$$.
Σχόλιο : Το παραπάνω άθροισμα σχετίζεται με τη συνάρτηση ζήτα του Riemann.
________________________________________________________________________
Ένας στοιχειώδης τρόπος υπολογισμού του παραπάνω αθροίσματος:
Θέτω $$\displaystyle{S_{n}:=\sum_{k=1}^{n}(-1)^k\frac{\ln k}{k}}$$ και παρατηρώ αρχικά ότι η σειρά συγκλίνει από το κριτήριο Dirichlet, αφού η $$(-1)^k$$ έχει φραγμένα μερικά αθροίσματα και η $$\displaystyle{\frac{\ln k}{k}}$$ είναι τελικά φθίνουσα στο $$0$$.
Έπεται ότι $$\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\frac{\ln k}{k}=\lim_{n\to+\infty}S_{2n}}$$.
Τώρα:
$$\displaystyle{S_{2n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\ln2k}{2k}-\sum_{k=1}^{n}\frac{\ln(2k-1)}{2k-1}=\frac{\ln2}{2}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\frac{\ln k}{k}-\left(\sum_{k=1}^{2n}\frac{\ln k}{k}-\sum_{k=1}^{n}\frac{\ln2k}{2k}\right)=$$
$$\ln2H_{n}+\sum_{k=1}^{n}\frac{\ln k}{k}-\sum_{k=1}^{2n}\frac{\ln k}{k}=\ln2H_{n}-\sum_{k=1}^{n}\frac{\ln(n+k)}{n+k}=\ln2H_{n}-\sum_{k=1}^{n}\frac{\ln n+\ln(1+k/n)}{n+k}=}$$
$$\displaystyle{\ln2H_{n}-\ln n(H_{2n}-H_{n})-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{\ln(1+k/n)}{1+k/n}=}$$
$$\displaystyle{H_{n}\ln(2n)-H_{2n}\ln n-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{\ln(1+k/n)}{1+k/n}\stackrel{H_{n}=\ln n+\gamma+\mathcal O(1/n)}{=}}$$
$$\displaystyle{\gamma\ln2+\mathcal O(1/n)-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{\ln(1+k/n)}{1+k/n}\to\gamma\ln2-\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{1+x}\,dx=\gamma\ln2-\frac{\ln^22}{2}}$$.
Παρασκευή 24 Ιουνίου 2011
Κείμενο LaTeX σε blog
Προκειμένου κανείς να εισάγει τη δυνατότητα γραφής σε $\LaTeX$ στο blog του, μπορεί να ακολουθήσει τις οδηγίες που δίνονται εδώ.
Ενσωμάτωση εγγράφων σε blog
Προκειμένου να ενσωματώσει κανείς κάποιο έγγραφο στο blog του, μπορεί να ακολουθήσει τις οδηγίες που δίνονται εδώ.
Συμπεριφορά πλήρους ελλειπτικού ολοκληρώματος α' είδους ως προς την παράμετρο
Αν $$0<k<1$$, δείξτε ότι
$$\lim_{k\to1^{-}}-\frac{1}{\log\sqrt{1-k}}\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^{2}x^{2})}}\,dx=1$$.
$$\Big($$Το παραπάνω δέιχνει ότι $$\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^{2}x^{2})}}\,dx\stackrel{k\to1^{-}}{\sim}-\log\sqrt{1-k}$$, δηλαδή ότι για μεγάλες τιμές του $k$, η $$I(k):=}\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^{2}x^{2})}}\,dx$$ συμπεριφέρεται όπως η $$-\log\sqrt{1-k}$$ $$\Big)$$.
___________________________________________________________________________
Μια προσέγγιση με στοιχειώδη μέσα. Μόνο με χρήση της προσέγγισης Taylor:
Έχουμε $$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-(tx)^2)}}=\frac{1}{(1+x)^{1/2}}\frac{1}{(1+tx)^{1/2}}\frac{1}{\sqrt{(1-x)(1-tx)}}}$$.
Έστω $$t$$ σταθερό πολύ κοντά στο $$1$$ από αριστερά.
Αναπτύσσουμε σε σειρά γύρω από το σημείο που έχουμε το πρόβλημα, το $$1$$, τους παράγοντες που δεν απειρίζουν την ολοκληρωτέα:
$$\frac{1}{\sqrt{2}}+\mathcal O(1-x)\stackrel{**}{=}\frac{1}{\sqrt{2}}+\mathcal O(1-tx)}$$
$$*$$ Από την προσέγγιση Taylor της $$(1-x)^{-1/2}$$, αφού $$\displaystyle{0\leq\frac{1-x}{2}<\frac{1}{2}}$$,
$$**$$ Αφού $$0\leq1-x\leq1-tx$$.
Αντίστοιχα
$$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{1+tx}}=\frac{1}{\sqrt{t+1}}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1-x}{(t+1)/t}}}\stackrel{*}{=}\frac{1}{\sqrt{t+1}}\left(1+\mathcal O\left(\frac{1-x}{(t+1)/t}\right)\right)\stackrel{**}{=}$$
$$\frac{1}{\sqrt{t+1}}+\mathcal O(1-x)=\frac{1}{\sqrt{t+1}}+\mathcal O(1-tx)}$$
$$*$$Από την προσέγγιση Taylor της $$(1-x)^{-1/2}$$, αφού $$\displaystyle{0\leq\frac{1-x}{(t+1)/t}\leq\frac{t}{t+1}<1}$$,
$$**$$ αφού το $$(t+1)/t$$ είναι φραγμένο για $$t$$ πολύ κοντά στο$$1$$.
Έπεται λοιπόν ότι
$$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-(tx)^2)}}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\mathcal O(1-tx)\right)\left(\frac{1}{\sqrt{t+1}}+\mathcal O(1-tx)\right)\frac{1}{\sqrt{(1-x)(1-tx)}}=$$
$$\left(\frac{1}{\sqrt{2t+2}}+\mathcal O(1-tx)\right)\frac{1}{\sqrt{(1-x)(1-tx)}}=}$$
$$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2t+2}}\frac{1}{\sqrt{(1-x)(1-tx)}}+\mathcal O\left(\sqrt{\frac{1-tx}{1-x}}\right)\stackrel{*}{=}\frac{1}{\sqrt{2t+2}}\frac{1}{\sqrt{(1-x)(1-tx)}}+\mathcal O\left(\frac{1}{\sqrt{1-x}}\right)}$$
$$*$$ αφού $$0<\sqrt{1-tx}\leq1$$.
Ολοκληρώνοντας τώρα από $$0$$ ως $1$,
$$\displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-(tx)^2)}}\,dx=\frac{1}{\sqrt{2t+2}}\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{(1-x)(1-tx)}}\,dx+\mathcal O\left(\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x}}\,dx\right)\stackrel{*}{=}$$
$$\frac{1}{\sqrt{2t+2}}\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{(1-x)(1-tx)}}\,dx+\mathcal O\left(1\right)}$$
$$*$$ αφού το $$\displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x}}\,dx}$$ συγκλίνει.
Με αλλαγή μεταβλητής τώρα $$\sqrt{(1-x)(1-tx)}=(1-x)y$$βρίσκουμε ότι
$$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2t+2}}\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{(1-x)(1-tx)}}\,dx+\mathcal O\left(1\right)=\sqrt{\frac{2}{(t+1)t}}\ln\frac{\sqrt{1-tx}-\sqrt{t(1-x)}}{\sqrt{1-t}}\Big|_{0}^{1}+\mathcal O(1)=$$
$$\sqrt{\frac{2}{(t+1)t}}\left(1-\ln\sqrt{1-t}\right)+\mathcal O(1)}$$
$$\displaystyle{\stackrel{*}{=}-\ln\sqrt{1-t}+\mathcal O(1)}$$
$$*$$ αφού $$\displaystyle{\left(\sqrt{\frac{2}{(t+1)t}}\left(1-\ln\sqrt{1-t}\right)\right)\Big/-\ln\sqrt{1-t}\stackrel{t\to1^-}{\longrightarrow}1}$$.
Θα μπορούσαμε να προσεγγίσουμε καλύτερα τη συμπεριφορά του ελλειπτικού ολοκληρώματος, αν προσεγγίζαμε εξαρχής καλύτερα το κομμάτι που δεν απειρίζει την ολοκληρωτέα.
Θέματα Ανάλυσης
Μια συλλογή ειδικών θεμάτων ανάλυσης, με κάποια στοιχεία θεωρίας, περισσότερα από τα οποία έχουν κατά καιρούς συζητηθεί στον δικτυακό τόπο www.mathematica.gr και σε επιμέλεια του υποφαινόμενου.
Τα θέματα είναι ως επί το πλείστον προπτυχιακού ή και μεταπτυχιακού επιπέδου. Στο τέλος του κειμένου παρουσιάζεται αναφορά αξιόλογης σχετικής βιβλιογραφίας.
Υ.Γ. : Το παραπάνω κείμενο αποτελεί δείγμα και ως εκ τούτου περιέχει ελλείψεις και λάθη. Υπόκειται σε συνεχείς συμπληρώσεις - διορθώσεις.
Μπορεί κανείς να το κατεβάσει και από εδώ, όπου θα βρει και πολλά ακόμη ενδιαφέροντα έγγραφα.
Problem Books στην Ανάλυση
Μια σειρά από αξιόλογα βιβλία προβλημάτων στην ανάλυση (πανεπιστημιακού επιπέδου), τα περισσότερα από τα οποία μπορεί κανείς, με λίγο ψάξιμο, να βρει στο δίκτυο:
1) Problems in mathematical analysis I,II,III Kaczor - Nowak
2) Problems in mathematical analysis, advanced calculus on the real axis Andreescu
3) Problems and theorems in analysis I,II Polya - Szego
4) Problems in mathematical analysis Biler - Witkowski
5) Problems and solutions in real analysis Masayoshi Hata
6) Selected problems in real analysis Makarov
7) Algebra and analysis, problems and solutions Lefort
8) Problems and propositions in analysis Gabriel Klambauer
9) introduction to calculus and classical analysis Hijab
10) problems and solutions for undergraduate analysis Rami Shakarchi
Μιγαδική Ανάλυση
11) problems and solutions for complex analysis Rami Shakarchi
12) calculus of residues Mitrinovic
13) the cauchy method of residues I,II Mitrinovic
14) a collection of problems on complex analysis Volkovyskiĭ
15) complex analysis through examples and exercises Endre Pap
16) advanced calculus Frederick Woods.
$\bullet$ Πολλά αξιόλογα βιβλία των οποίων τα πνευματικά δικαιώματα έχουν λήξει, μπορεί κανείς να τα κατεβάσει δωρεάν από την υπερμεγέθη ηλεκτρονική βιβλιοθήκη www.archive.org
$\bullet$ Αν πάλι κάποιο βιβλίο δεν μπορεί κανείς να το βρει στο δίκτυο, μπορεί, ενδεχομένως, να το αγοράσει, μεταχειρισμένο ή καινούριο, σε καλή συνήθως τιμή στο site www.biblio.com
Πραγματική Ανάλυση
1) Problems in mathematical analysis I,II,III Kaczor - Nowak
2) Problems in mathematical analysis, advanced calculus on the real axis Andreescu
3) Problems and theorems in analysis I,II Polya - Szego
4) Problems in mathematical analysis Biler - Witkowski
5) Problems and solutions in real analysis Masayoshi Hata
6) Selected problems in real analysis Makarov
7) Algebra and analysis, problems and solutions Lefort
8) Problems and propositions in analysis Gabriel Klambauer
9) introduction to calculus and classical analysis Hijab
10) problems and solutions for undergraduate analysis Rami Shakarchi
Μιγαδική Ανάλυση
11) problems and solutions for complex analysis Rami Shakarchi
12) calculus of residues Mitrinovic
13) the cauchy method of residues I,II Mitrinovic
14) a collection of problems on complex analysis Volkovyskiĭ
15) complex analysis through examples and exercises Endre Pap
16) advanced calculus Frederick Woods.
$\bullet$ Πολλά αξιόλογα βιβλία των οποίων τα πνευματικά δικαιώματα έχουν λήξει, μπορεί κανείς να τα κατεβάσει δωρεάν από την υπερμεγέθη ηλεκτρονική βιβλιοθήκη www.archive.org
$\bullet$ Αν πάλι κάποιο βιβλίο δεν μπορεί κανείς να το βρει στο δίκτυο, μπορεί, ενδεχομένως, να το αγοράσει, μεταχειρισμένο ή καινούριο, σε καλή συνήθως τιμή στο site www.biblio.com
Πέμπτη 23 Ιουνίου 2011
Εγχειρίδια Latex
Δυο χρησιμότατα εγχειρίδια για το Latex μπορεί κανείς να βρει στους ακόλουθους συνδέσμους :
$\bullet$ The Not So Short Introduction to Latex
$\bullet$ The Comprehensive Latex Symbol List
Άλλα βιβλία :
$\bullet$ $\LaTeX$ του Απόστολου Συρόπουλου.
$\bullet$ The Not So Short Introduction to Latex
$\bullet$ The Comprehensive Latex Symbol List
Άλλα βιβλία :
$\bullet$ $\LaTeX$ του Απόστολου Συρόπουλου.
Επίσης:
$\bullet$ " Εισαγωγή στη $\LaTeX$" των Ν.Βλάχου και Σ.Καποδίστρια.
(Ευχαριστώ το φίλο Αντώνη Νασιούλα για το έγγραφο αυτό)
Εισαγωγή στη LaTeX - Ν.Βλάχος Σ.Καποδίστρια
www.mathematica.gr
Επισκεφθείτε το www.mathematica.gr τη μεγαλύτερη μαθηματική διαδικτυακή κοινότητα στην Ελλάδα.
Δείγμα της μαθηματικής δραστηριότητας του www.mathematica.gr είναι το περιοδικό ηλεκτρονικό μαθηματικό δελτίο του, "ΕΙΚΟΣΙΔΩΔΕΚΑΕΔΡΟΝ", τα τέσσερα πρώτα τεύχη του οποίου μπορεί κανείς να βρει στους παρακάτω συνδέσμους:
$\bullet$ Τεύχος 1 $\bullet$ Τεύχος 2
$\bullet$ Τεύχος 3 $\bullet$ Τεύχος 4
$\bullet$ Τεύχος 5
Δείγμα της μαθηματικής δραστηριότητας του www.mathematica.gr είναι το περιοδικό ηλεκτρονικό μαθηματικό δελτίο του, "ΕΙΚΟΣΙΔΩΔΕΚΑΕΔΡΟΝ", τα τέσσερα πρώτα τεύχη του οποίου μπορεί κανείς να βρει στους παρακάτω συνδέσμους:
$\bullet$ Τεύχος 5
Εγγραφή σε:
Αναρτήσεις (Atom)